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向你介绍我是谁
大家好，我是浙江省台州市白云小学的彭晓丹，是朱乐平名师工作站“一课研究”团队第26组成员，很高兴能在此与您相遇。
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本期内容有哪些
听一听：数学习题的选择和安排。
读一读：“三角形内角和”一课现行各版本教材习题比较分析。
看一看：数学家的眼光：三角形的内角和。
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选自陈永明名师工作室著 《数学习题教学研究》
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进行比较的教材
本文试图对人教版、浙教版、苏教版、青岛版、北师大版、西师大版这六套小学数学现行教材中“三角形内角和”这一内容所在单元涉及到的与“三角形内角和”有关的习题进行整理，并从习题类型、习题数量和各版本习题的异同点三个方面进行比较研究，在此基础上提出对教学的若干启示。
习题的类型
小学数学2011版新课标将学生的图形认知水平分为五级。
结合小学阶段3个不同水平层次的考查目标，将各个版本设计的习题类型分为如下3类：
1.基础型
（1）根据“三角形内角和等于180°”这一性质进行简单计算。已知三角形其中两个角，求第三个角。（2）明确三角形内角和与三角形的形状无关。
2.综合型
综合利用“三角形内角和的性质”和“三角形分类中特殊三角形的性质”来解决问题。
3.探究型
（1）用“三角形内角和的性质”说理一个三角形中最多只有一个直角、一个钝角。（2）探索多边形的内角和。
习题数量对比分析
习题数量
1.苏教版在这一单元涉及“三角形内角和”的总习题数量最多，西师大版次之，这两个版本的基础型习题数量也是明显多于其他版本教材的。因为这两个版本教材安排上是先上“三角形的内角和”，再上“三角形的分类”，故在“三角形内角和”课后安排了一定数量的基础性习题。
西师大版
不过对比教材习题可以发现，西师大版像这样一道题目有多个小题的情况较多，所以实际练习量多于苏教版。
2.浙教版、青岛版基本型习题最少，重视综合型习题和探究型习题，注重让学生建立知识间的联系，培养学生灵活运用所学知识解决问题以及进行说理、推理的能力。浙教版的探究型习题是最多的。
3.人教版、北师大版的习题数量安排上相仿。特别说明，因为人教版中“四边形内角和”一课单独作为例题，在该节课后探索五边形、六边形、七边形……的内角和，故在习题统计时未将多边形的内角和作为“三角形内角和”的习题，因而人教版“三角形内角和”的探究型习题数量为0.
各版本习题的异同
相同点
1.都有直接应用“三角形内角和是180°”这一性质来计算求解的基础性习题。
人教版安排了“已知三角形中两个内角的度数，求第三个内角的度数”的习题。（如图1）
图1
苏教版也安排了“根据三角形两个内角的度数，求第三个内角的度数”的习题。（如图2）
图2
其他版本也都有已知三角形中两个角的度数，利用“三角形内角和是180°”，求出第三个角的度数的习题，强化学生对“三角形内角和等于180°”的认识，掌握求三角形中未知角度数的思考方法。每个版本均有涉及已知一个直角三角形的一个锐角，求另一个锐角的度数的习题。尽可能让学生会直接用90°减去已知锐角的度数，求出另一个锐角的度数这一简便算法，培养学生灵活运用所学知识解决问题的能力。
相同点
2.都有综合利用“三角形内角和的性质”和“三角形分类”的知识来解决问题的习题。
青岛版安排了“根据等腰三角形中已知角（底角或顶角）的度数，求未知角（顶角或底角）的度数”的习题，也安排了“求等边三角形的内角”的习题。（如图3）
图3
西师大版也安排了“根据等腰三角形中已知角（底角或顶角）的度数，求未知角（顶角或底角）的度数”的习题。（如图4）
图4
北师大版相对弱化，只安排了一道“已知三角形其中2个内角，判断是什么类型的三角形”的习题。（如图5）
图5
其他版本也均有根据特殊三角形的特征和三角形的内角和180°，求三角形内角的度数的习题。既巩固特殊三角形的特征，又增强了三角形内角和性质的运用。
不同点
1.对“三角形内角和是180°”的含义的考察上有所不同。
人教版安排了“把1个大三角形分割成2个小三角形，求每个小三角形的内角和”的习题。（如图6）
图6
苏教版安排了1道“用两块完全一样的三角尺拼一个三角形，求拼成的三角形内角和度数”的习题；1道“将正方形不断对折成等腰直角三角形，求三角形的内角和”的习题；还有1道“用两块完全一样的三角尺拼内角和是180°的图形”的习题。（如图7）
图7
北师大版安排了1道“把两个相同的三角尺分别拼成一个四边形和一个三角形，先想、再量、后算它们的内角和”的习题，还安排了1道“将长方形纸对折剪三角形，再将大三角形不断剪小，使其形状与大小不断变化，填写三角形内角和”的习题。（如图8）
图8
西师大版安排了“把两块完全一样的三角板，拼成一个三角形，求三角形的内角和”的习题。（如图9）
图9
这4个版本均有涉及帮助学生进一步理解“三角形内角和是180°”的含义的习题，体会三角形的内角和与三角形的形状、大小无关，帮助学生积累一些图形变换的经验。其他两个版本没有涉及。
不同点
2.在梳理“三角形内角和是180°”探索过程的考察上有所不同。
北师大版练一练第1题结合对课上探索活动的回顾，交流体会，明晰三角形内角和是180°，总结解决问题的方法。（如图10）其他版本没有涉及。
图10
不同点
3.对学生综合运用所学知识进行推理这一能力的考察上有所不同。
浙教版安排了“思考一个三角形中是否可能有两个直角或钝角的”习题。（如图11）
图11
北师大版安排了判断“钝角三角形两个锐角之和大于90°”和“直角三角形两个锐角之和等于90°”两句话是否正确的习题。（如图12）
图12
浙教版和北师大版这两个版本习题中都有综合运用三角形内角和、三角形分类特征等所学知识进行推理，提高学生解决问题的能力的题目。其他版本没有涉及。
不同点
4.对四边形或者多边形内角和推导的考察上有所不同。
浙教版安排了“把一个三角形截去一个内角后，变成一个四边形，求四边形内角和” 的习题。（如图13）
图13
苏教版安排了“用两块完全相同的三角尺拼内角和分别是180°、360°的图形”的习题。（如图14）
图14
青岛版安排了“根据三角形内角和是180°，推算长方形和正方形内角和”的习题。（如图15）
图15
西师大版在思考题中安排了“根据三角形、四边形的内角和，推导五边形、六边形内角和”的习题，分析多边形的边数与三角形个数之间的关系，体会计算多边形内角和的一般方法。（如图16）
图16
浙教版、苏教版、青岛版这三个版本在习题中均有涉及根据三角形内角和是180°，观察、推算出四边形的内角和。西师大版在习题中涉及到了体会计算多边形内角和的一般方法，不归纳多边形内角和的公式。前边提到，人教版中“四边形内角和”作为例题教学，所以人教版在习题中未涉及四边形的内角和。苏教版因为“多边形内角和”的知识是作为“综合实践课”进行教学的，习题中有一道四边形的内角和，未涉及多边形内角和。北师大版没有涉及四边形或者多边形的内角和的习题。
对教学的启示
1.注重“内角”的概念理解。
无论是三角形内角和性质的探索还是理解，以及探索多边形的内角和，学生对于“内角”的概念的理解都是非常重要的。因此新课教学时要注重学生对于“内角”这一概念的理解。从单个三角形到组合的三角形，学生要能正确辨认三角形的内角。
2.注重数学思想系统性的建构。
从学习三角形的内角和到探索四边形的内角和乃至多边形的内角和，有利于学生感受图形知识内部之间的联系，帮助学生知识学习系统化。将三角形内角和的性质和三角形的分类进行综合练习，将三角形内角和与图形特征建立起联系，也体现了知识的内在联系。因此，我们在新课教学时，可以有意识地培养学生关注知识的联系，注重学生数学思想的系统性的建构。
3.注重推理、说理能力的培养。
培养学生的语言表达能力，关注学生说理的条理性、逻辑性是数学教学的一个重要方面。有2个版本的习题有涉及学生用所学的知识进行推理、说理的能力的培养，这也应该是我们在数学课上加以重视的。在新课探索“三角形内角和”的过程中，应当适当培养学生说理的能力。“我是怎样做的？”“我为什么这样做？”“这样做的结论是什么？”学生在表达自己的想法和做法的过程中，培养了思维的条理性，明确教材背后编者火热的思考。
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看一看
数学家的眼光：三角形的内角和
1980年，陈省身教授在北京大学一次讲学中语惊四座：“人们常说，三角形的内角和等于180°。但是，这是不对的！”
接着，这位老教授作出了精辟的解答：说“三角形内角和为180°”不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说“三角形外角和是360°”！
把眼光盯住内角，只能看到：
三角形内角和是180°；
四边形内角和是360°；
五边形内角和是540°；
……
n边形内角和是(n-2)×180°。
这就找到了一个计算内角和的公式。公式里出现了边数n。
如果看外角呢？
三角形的外角和是360°；
四边形的外角和是360°；
五边形的外角和是360°；
……
任意n边形的外角和都是360°。
这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。
设想一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子（如图17）。每经过一个顶点，它前进的方向就要改变一次，改变的角度恰好是这个顶点处的外角。爬了一圈，回到原处，方向和出发时一致了，角度改变量之和当然恰好是360°。
图17
这样看问题，不但给“多边形外角和等于360°”这条普遍规律找到了直观上的解释，而且立刻把我们的眼光引向了更宽广的天地。
你若盛开 蝴蝶自来
本期审核人：胡燕峰 薛玲芳
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