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向你介绍我是谁
大家好，我是宁波市江北洪塘实验学校徐宾，是朱乐平名师工作站“一课研究”第16组的学员，希望通过微信平台，与您在观点的碰撞、心灵的交流中，一起感受小学数学教学的魅力。
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本期内容有哪些
1.听一听：高等数学思维研究
2.读一读：斯根普、韬尔等人的研究成果
3.做一做：学以致用
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轻轻松松听听书
改编自顾泠沅主编的《数学学习的心理基础与过程》P52—P55
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斯根普、韬尔介绍
斯根普
在英国沃瑞克大学有一个非常著名的数学学习理论研究群体，该群体的先驱就是著名的英国数学教育家斯根普。斯根普的经历有点传奇色彩，他的大学专业学业曾因二战而中断，并投笔从戎在印度服役多年，升至上尉军衔。十年以后他又回到牛津大学修完数学本科。大学毕业后他当了五年中学数学教师，直到33岁时才重新走进校园攻读第二个学士学位。随后他继续在大学深造，并于1959年在曼彻斯特大学获得了心理学的博士学位。“他的特殊背景使他完全有资格获得数学教育心理学之父的地位，因为他既是一名称职的心理学家、数学家和教育家，同时也是一名经验丰富的教师、研究者和理论家。”
与韬尔相比，斯根普不是一位多产的作家，他所公开发表的有关数学教育的文章只有三篇：“工具性理解与关系性理解”、“数学，无声的音乐”和“问题解决的理论基础”。出版的学术著作也只有两部《数学学习心理学》与《智力学习与行为》。但让他自豪的是这些论著的质量。最著名的莫过于他的那篇题为“工具性理解与关系性理解”的经典论文。他有两句经常挂在嘴边的名言：一句是“再好的理论也不如实践”；另一句是“最简单的理论才是最好的理论”。他认为“要把一件简单的事情弄复杂并不难，难的是把复杂的事情弄简单”。他的这两句名言很好地反映了他的学术态度，同时也成为他的弟子们的座右铭。
韬尔
韬尔是斯根普的关门弟子，原先是一位数学家，主修拓扑学，进入数学教育领域之后，又修了一个数学教育的博士学位。斯根普的研究主要集中在儿童的数学学习，而韬尔及其弟子们则把研究的重心移向高等数学的学习。他们不仅把数学理论（如突变理论）作为研究方法引进心理学的领域，而且直接把研究对象聚焦于一些带有数学本质特征的数学概念，如极限、证明、微积分等。他们所提出的过程性概念、概念表象、认知根源，以及数学的三个世界等概念在一定程度上反映了高等数学思维的特点。韬尔和他的弟子们目前仍然是数学教育心理领域最活跃的研究群体之一、在每年一届的数学教育心理学大会上，都有来自这一群体的多篇高质量的论文，更令人感动的是，韬尔以及宽宏的胸怀把多年的研究成果都呈现在自己的网站上，让全世界的同行分享。韬尔的勤奋和多产在数学教育界是有目共睹的，更令人称奇的是，他还是一位造诣颇高的作曲家，发表了近30篇音乐方面的文章和曲谱。
斯根普的研究成果
斯根普用“Faux amis”这个法国人常用的说法来描述法语与英语中字面相同或相似、但意义不同的单词。比如“histoire”在法语中是“历史”，而在英语中是“故事”；“libraire”在法语中是“图书馆”，在英语中是“书店”。一个人如果不了解用于的真正意义，可能会造成不便的误解。斯根普用上述说法来比喻数学教学中的一种普遍现象：同一个数学概念，不同的人有不同的理解，而数学教学中的困难正是由“Faux amis”造成的。
工具性数学的优点
1.工具性数学一般比较容易理解。有些课题，如分数相除，很难从关系上去理解。 而“除以分数等于乘以这个分数的倒数”是很容易记住的规则，但不易解释其原因。如果想要的是正确的答案，工具性数学可以快速而轻易地提供，因为它“只管公式，不管理由”。
2.教学的效果立竿见影，而且更明显。学生能够迅速地得出正确的答案同时学生能从中得到成功的体验。
3.相比关系性数学，工具性数学思考牵涉的知识较少，因此用工具性数学可以更快速而且可靠地得到正确答案。
关系性数学的优点
1.比较适应新的任务。关系性理解不仅会知道哪种方法有用而且知道为什么有用，能够把方法和问题加以关联，而且还可以调整方法来处理新的问题。
2.比较容易记住。理解概念间的相互关系让人能记得它们是整体的关联部分，记住它们就变得比较容易，而且能减少重新学习的时间。
3.关系性知识本身可以成为有效的目标。这可以增加学生的学习动机，而减低对外界奖惩的需要水平。
4.关系性图式是一个高质量的有机体。关系性理解使人们不满足于对已有材料的理解，还会主动找寻新材料并探索新领域。
虽然在脱离实际背景的情况下，很难去评判“关系性理解”和“工具性理解”的优劣，但斯根普也强调，“工具性理解”只能取得短期的效果，而从长远发展的角度看，还是应该尽可能地获得“关系性理解”。
韬尔的研究成果简介
当代著名的数学教育心理学家斯法德曾这样来评价斯根普：“他走进的是一片空地，留下的却是伟大的建筑”。韬尔在斯根普留下的“建筑”上进一步审视这座“建筑”的整体结构与局部规划。在韬尔及其同事、学生的研究中几乎涉及数学学习的方方面面，而每一方面既是一个相对独立的研究，同时又有一个共同的目标，那就是重新建造一座数学教育心理学的“大厦”。我们先来梳理一下韬尔等人的“建筑”方案：首先，他们的理论建构立足于数学的认知特征。按照韬尔的观点，数学理论是在“感知”和“行动”的基础上反思抽象的结果，而“感知”和“行动”的对象则是环境。其次，韬尔根据不同数学内容构建了数学思维发展的一个基本框架：学生从最基本的环境互动出发，沿着表象与过程性概念两条不同的认知途径，随着数学课程内容的发展逐渐从初等数学思维过渡到高等数学思维。最后，韬尔还借助脑科学研究成果和计算机直观表示这两个重要的研究工具研究数学思维发展。
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学以致用
填空：
1.斯根普的研究主要集中在(儿童的数学学习)，而韬尔则把研究的重心移向(高等数学的学习)。
2.斯根普所公开发表的有关数学教育的文章只有三篇：“(工具性理解与关系性理解)”、“(数学，无声的音乐)”和“(问题解决的理论基础)”。
3.斯根普提到的（工具性）数学其实就是“只管公式，不管理由”，而“（关系性数学）”是“不仅知道怎么做，而且知道理由”，从长远发展看，应尽可能获得(关系性)理解”。
4.按照韬尔的观点，数学理论是在“（感知）”和“（行动）”的基础上反思抽象的结果。
参考答案：
1.儿童的数学学习、高等数学的学习
2.工具性理解与关系性理解
数学，无声的音乐
问题解决的理论基础
3.工具性、关系性数学、关系性
4.感知、行动
你若盛开 蝴蝶自来
本期审核人：罗靓 周永花
标签： #高中数学选修1答案
